|
Ξεκινώντας κάνουμε μια ιστορική αναδρομή και προχωρούμε με τις απόψεις του F. Klein για το πώς πρέπει να αναπτυχθεί η γεωμετρία της αντιστροφής ως ξεχωριστή γεωμετρία και διατυπώνουμε τα κυριότερα σημεία της προσπάθειας που έκανε ο M. Pieri για την Αξιωματική θεμελίωση της. |
Αναλυτική γεωμετρία μιγαδικοί και Αντιστροφή – F. Klein
|
| Αναπτύσσουμε με την βοήθεια αναλυτικής γεωμετρίας και μιγαδικών αριθμών, βασικά θεωρήματα και προτάσεις της γεωμετρίας αυτής. Σκιαγραφούμε την ανάπτυξη της γεωμετρίας αυτής σύμφωνα με τις απόψεις του F. Klein. (F. Klein: γεωμετρία ως η μελέτη των ιδιοτήτων που μένουν αναλλοίωτες κάτω από μια ομάδα μετασχηματισμών). |
|
Εισάγουμε και επεξεργαζόμαστε τους μετασχηματισμούς Möbius, ορίζουμε τους μετασχηματισμούς αντιστροφής.
Αποδεικνύουμε ότι κάθε μετασχηματισμός αντιστροφής είναι ένας Möbius ή αντι-Möbius μετασχηματισμός.
|
|
Αποδεικνύουμε το θεώρημα του Καραθεοδωρή. (Μια απεικόνιση 1-1 που απεικονίζει το επεκταμένο μιγαδικό επίπεδο στον εαυτό του έτσι ώστε κάθε κύκλος ή ευθεία να απεικονίζεται σε έναν κύκλο ή ευθεία γραμμή είναι υποχρεωτικά ένας Möbius ήαντι-Möbius μετασχηματισμός.)
|
Θεώρημα των Cauchy Riemann
|
| Αποδεικνύουμε το Θεώρημα των Cauchy Riemann και φτάνουμε μέχρι το θεώρημα του Liouville. (θεώρημα του Liouville: Αν f είναι μια ένα προς ένα κλάσης C^4 σύμμορφη απεικόνιση ενός ανοιχτού συνόλου U⊆ R^3 επί του f(U) και ας υποθέσουμε ότι n≥3 Τότε η f είναι σύνθεση αντιστροφών και ομοιοτήτων). |
|
Στο δεύτερο μέρος της εργασίας μας διαπραγμτευόμαστε αρκετά ιστορικά προβλήματα. Εργαλείο πάντα ηγεωμετρία της αντιστροφής.
Τα πιο σημαντικά προβλήματα με τα οποία ασχολούμαστε είναι:
- προβλήματα που έχουν σχέση με την άρβηλο του Αρχιμήδη.
- Η αλυσίδα του Πάππου
- κάποιες άλλες αλυσίδες που σχηματίζονται μέσα στην άρβηλο.
|
Πρόβλήμα επαφών Απολλώνιου-Gergonne-Steiner
|
| Διαπραγματευόμαστε την 10η περίπτωση του προβλήματος των επαφών του Απολλώνιου. Παρουσιάζουμε ανάμεσα σε άλλα την λύση που έδωσε ο Gergonne. Αναπτύσσουμε το πρόβλημα του Malffati. Δίνουμε μια λύση που είναι αρκετά κοντά στο πνεύμα της λύσης που έδωσε ο Steiner. |
Hexlet του Soddy–Feuerbach-Miquel-Πτολεμαιος-Ferma- πόρισμα Steiner-απόσταση αντιστροφής του Coxeter
|
- Επεξεργαζόμαστε το πρόβλημα του hexlet του Soddy
- το θεώρημα του Feuerbach
- το Θεώρημα του Miquel
- του Πτολεμαίου το πρόβλημα του Fermat
- το πόρισμα του Steiner
- παρουσιάζουμε την απόσταση αντιστροφής του Coxeter. (Την συνδέουμε και με την γωνία παραλληλίας στην Υπερβολική γεωμετρία.
|
Θεώρημα του Descartes–10ο πρόβλημα των επαφών-αντιστροφέας του Hart-συνδεσμολογία του Peaucellier
|
- Παρουσιάζουμε επίσης το θεώρημα του Descartes. (Δίνει την σχέση που συνδέει τις ακτίνες τεσσάρων εφαπτόμενων μεταξύ τους κύκλων- ειδική περίπτωση του 10ου προβλήματος των επαφών)
- τον αντιστροφέα του Hart
- την συνδεσμολογία του Peaucellier.
|
|
Τελειώνουμε παρουσιάζοντας διάφορα προβλήματα από Διεθνείς μαθηματικούς διαγωνισμούς,
τα οποία και λύνουμε με την βοήθεια της αντιστροφής.
|
ΕΔΩ ΜΠΟΡΕΙΣ ΝΑ ΚΑΝΕΙΣ download ΤΗΝ ΕΡΓΑΣΙΑ. Kάνε κλικ στον σύνδεσμο ακριβώςπιο κάτω:
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ – ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
Επιστροφή στην αρχική σελίδα